线性回归(2)--从零实现
使用基础的Tensor以及autograd实现线性回归模型的构建和训练
细节highlight
- 样本数量不能被batch_size整除时的处理
- 用
matmul自适应矩阵的向量的乘法 - 误差函数中的y需要reshape，保证维度一致
- 在
with torch.no_grad():中更新参数 - 参数更新后需要
.grad.zero_()将梯度置零
%matplotlib inline
import torch
from IPython import display
from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np
import random
生成数据集
我们构造一个简单的人工训练数据集，它可以使我们能够直观比较学到的参数和真实的模型参数的区别。设训练数据集样本数为1000，输入个数（特征数）为2。给定随机生成的批量样本特征 $\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{1000 \times 2}$，我们使用线性回归模型真实权重 $\boldsymbol{w} = [2, -3.4]^\top$ 和偏差 $b = 4.2$，以及一个随机噪声项 $\epsilon$ 来生成标签 $$ \boldsymbol{y} = \boldsymbol{X}\boldsymbol{w} + b + \epsilon $$
其中噪声项 $\epsilon$ 服从均值为0、标准差为0.01的正态分布。噪声代表了数据集中无意义的干扰。下面，让我们生成数据集。
num_inputs = 2 # 输入维度
num_examples = 1000 # 样本数量
true_w = [2, -3.4]
true_b = 4.2
features = torch.randn(num_examples, num_inputs,
dtype=torch.float32) # 随机生成的样本
labels = true_w[0] * features[:, 0] + true_w[1] * features[:, 1] + true_b # 计算精确的标签
labels += torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, size=labels.size()),
dtype=torch.float32) # 给标签加上随机干扰
注意，features的每一行是一个长度为2的向量，而labels的每一行是一个长度为1的向量（标量）。
print(features[0], labels[0])
输出：
tensor([0.8557, 0.4793]) tensor(4.2887)
通过生成第二个特征features[:, 1]和标签 labels 的散点图，可以更直观地观察两者间的线性关系。
def use_svg_display():
# 用矢量图显示
display.set_matplotlib_formats('svg')
def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)):
use_svg_display()
# 设置图的尺寸
plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize
set_figsize()
plt.scatter(features[:, 1].numpy(), labels.numpy(), 1);
读取数据
在训练模型的时候，我们需要遍历数据集并不断读取小批量数据样本。这里我们定义一个函数：它每次返回batch_size（批量大小）个随机样本的特征和标签。
def data_iter(batch_size, features, labels):
num_examples = len(features)
indices = list(range(num_examples))
# 这些样本是随机读取的，没有特定的顺序
random.shuffle(indices)
for i in range(0, num_examples, batch_size):
batch_indices = torch.tensor(
indices[i: min(i + batch_size, num_examples)]) # i 每次增加一个batch_size,最后一次可能超过下标，所以用min()保证不超过
yield features[batch_indices], labels[batch_indices]
让我们读取第一个小批量数据样本并打印。每个批量的特征形状为(10, 2)，分别对应批量大小和输入个数；标签形状为批量大小。
batch_size = 10
for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
print(X, y)
break
输出：
tensor([[-1.4239, -1.3788],
[ 0.0275, 1.3550],
[ 0.7616, -1.1384],
[ 0.2967, -0.1162],
[ 0.0822, 2.0826],
[-0.6343, -0.7222],
[ 0.4282, 0.0235],
[ 1.4056, 0.3506],
[-0.6496, -0.5202],
[-0.3969, -0.9951]])
tensor([ 6.0394, -0.3365, 9.5882, 5.1810, -2.7355, 5.3873, 4.9827, 5.7962,
4.6727, 6.7921])
初始化模型参数
我们将权重初始化成均值为0、标准差为0.01的正态随机数，偏差则初始化成0。
w = torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, (num_inputs, 1)), dtype=torch.float32)
b = torch.zeros(1, dtype=torch.float32)
之后的模型训练中，需要对这些参数求梯度来迭代参数的值，因此我们要让它们的requires_grad=True。
w.requires_grad_(requires_grad=True)
b.requires_grad_(requires_grad=True)
定义模型
下面是线性回归的矢量计算表达式的实现。我们使用mm函数做矩阵乘法。
def linreg(X, w, b):
return torch.matmul(X, w) + b # 使用matmul自动应对更多情况
定义损失函数
我们使用上一节描述的平方损失来定义线性回归的损失函数。在实现中，我们需要把真实值y变形成预测值y_hat的形状。以下函数返回的结果也将和y_hat的形状相同。
def squared_loss(y_hat, y): # 本函数已保存在d2lzh_pytorch包中方便以后使用
# 注意这里返回的是向量, 另外, pytorch里的MSELoss并没有除以 2
return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2 # 注意需要reshape
定义优化算法
以下的sgd函数实现了上一节中介绍的小批量随机梯度下降算法。它通过不断迭代模型参数来优化损失函数。这里自动求梯度模块计算得来的梯度是一个批量样本的梯度和。我们将它除以批量大小来得到平均值。
def sgd(params, lr, batch_size): #@save
"""小批量随机梯度下降"""
with torch.no_grad(): # 更新参数时不更新梯度
for param in params:
param -= lr * param.grad / batch_size
param.grad.zero_() # 梯度清零
训练模型
在训练中，我们将多次迭代模型参数。在每次迭代中，我们根据当前读取的小批量数据样本（特征X和标签y），通过调用反向函数backward计算小批量随机梯度，并调用优化算法sgd迭代模型参数。由于我们之前设批量大小batch_size为10，每个小批量的损失l的形状为(10, 1)。回忆一下自动求梯度一节。由于变量l并不是一个标量，所以我们可以调用.sum()将其求和得到一个标量，再运行l.backward()得到该变量有关模型参数的梯度。注意在每次更新完参数后不要忘了将参数的梯度清零。
在一个迭代周期（epoch）中，我们将完整遍历一遍data_iter函数，并对训练数据集中所有样本都使用一次（假设样本数能够被批量大小整除）。这里的迭代周期个数num_epochs和学习率lr都是超参数，分别设3和0.03。在实践中，大多超参数都需要通过反复试错来不断调节。虽然迭代周期数设得越大模型可能越有效，但是训练时间可能过长。而有关学习率对模型的影响，我们会在后面“优化算法”一章中详细介绍。
lr = 0.03
num_epochs = 3
net = linreg
loss = squared_loss
for epoch in range(num_epochs):
for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
l = loss(net(X, w, b), y) # X和y的小批量损失
# 因为l形状是(batch_size,1)，而不是一个标量。l中的所有元素被加到一起，
# 并以此计算关于[w,b]的梯度
l.sum().backward()
sgd([w, b], lr, batch_size) # 使用参数的梯度更新参数
with torch.no_grad(): # 计算loss的时候不更新梯度
train_l = loss(net(features, w, b), labels)
print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')
输出：
epoch 1, loss 0.028127
epoch 2, loss 0.000095
epoch 3, loss 0.000050
训练完成后，我们可以比较学到的参数和用来生成训练集的真实参数。它们应该很接近。
print(true_w, '\n', w)
print(true_b, '\n', b)
输出：
[2, -3.4]
tensor([[ 1.9998],
[-3.3998]], requires_grad=True)
4.2
tensor([4.2001], requires_grad=True)
小结
- 可以看出，仅使用
Tensor和autograd模块就可以很容易地实现一个模型。