BatchNorm
训练深层网络
批量规范化应用于单个可选层（也可以应用到所有层），其原理如下：在每次训练迭代中，我们首先规范化输入，即通过减去其均值并除以其标准差，其中两者均基于当前小批量处理。
$$ \mathrm{BN}(\mathbf{x}) = \boldsymbol{\gamma} \odot \frac{\mathbf{x}-\hat{\mu}}{\hat{\boldsymbol{\sigma}}} + \boldsymbol{\beta} $$
$\hat{\boldsymbol{\mu}}$是小批量 $\mathcal{B}$ 的样本均值，$\hat{\boldsymbol{\sigma}}$ 是小批量 $\mathcal{B}$ 的样本标准差。 应用标准化后，生成的小批量的平均值为0和单位方差为1。 由于单位方差（与其他一些魔法数）是一个主观的选择，因此我们通常包含 拉伸参数（scale）$\boldsymbol{\gamma}$和偏移参数（shift）$\boldsymbol{\beta}$，它们的形状与 $\mathbf{x}$相同。 请注意，$\boldsymbol{\gamma}$和$\boldsymbol{\beta}$是需要与其他模型参数一起学习的参数。
由于在训练过程中，中间层的变化幅度不能过于剧烈，而批量规范化将每一层主动居中，并将它们重新调整为给定的平均值和大小（通过$\hat{\boldsymbol{\mu}}$和${\hat{\boldsymbol{\sigma}}}$）。
$$ \begin{aligned} \hat{\boldsymbol{\mu}} = \frac{1}{|\mathcal{B}|} \sum_{\mathbf{x} \in \mathcal{B}} \mathbf{x},\ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^2 &= \frac{1}{|\mathcal{B}|} \sum_{\mathbf{x} \in \mathcal{B}} (\mathbf{x} - \hat{\boldsymbol{\mu}}_{\mathcal{B}})^2 + \epsilon. \end{aligned} $$
全连接层
使用批量规范化的全连接层的输出的计算详情如下：
$$\mathbf{h} = \phi(\mathrm{BN}(\mathbf{W}\mathbf{x} + \mathbf{b}) ).$$ 均值和方差是在应用变换的"相同"小批量上计算的。
卷积层
当卷积有多个输出通道时，我们需要对这些通道的“每个”输出执行批量规范化，
每个通道都有自己的拉伸（scale）和偏移（shift）参数，这两个参数都是标量。
假设我们的小批量包含$m$个样本，并且对于每个通道，卷积的输出具有高度$p$和宽度$q$。
那么对于卷积层，我们在每个输出通道的$m \cdot p \cdot q$个元素上同时执行每个批量规范化。
因此，在计算平均值和方差时，我们会收集所有空间位置的值，然后在给定通道内应用相同的均值和方差，以便在每个空间位置对值进行规范化。
原理代码
def batch_norm(X, gamma, beta, moving_mean, moving_var, eps, momentum):
# 通过is_grad_enabled来判断当前模式是训练模式还是预测模式
if not torch.is_grad_enabled():
# 如果是在预测模式下，直接使用传入的移动平均所得的均值和方差
X_hat = (X - moving_mean) / torch.sqrt(moving_var + eps)
else:
assert len(X.shape) in (2, 4)
if len(X.shape) == 2:
# 使用全连接层的情况，计算特征维上的均值和方差
mean = X.mean(dim=0)
var = ((X - mean) ** 2).mean(dim=0)
else:
# 使用二维卷积层的情况，计算通道维上（axis=1）的均值和方差。
# 这里我们需要保持X的形状以便后面可以做广播运算
mean = X.mean(dim=(0, 2, 3), keepdim=True)
var = ((X - mean) ** 2).mean(dim=(0, 2, 3), keepdim=True)
# 训练模式下，用当前的均值和方差做标准化
X_hat = (X - mean) / torch.sqrt(var + eps)
# 更新移动平均的均值和方差
moving_mean = momentum * moving_mean + (1.0 - momentum) * mean
moving_var = momentum * moving_var + (1.0 - momentum) * var
Y = gamma * X_hat + beta # 缩放和移位
return Y, moving_mean.data, moving_var.data
BatchNorm层
class BatchNorm(nn.Module):
# num_features：完全连接层的输出数量或卷积层的输出通道数。
# num_dims：2表示完全连接层，4表示卷积层
def __init__(self, num_features, num_dims):
super().__init__()
if num_dims == 2:
shape = (1, num_features)
else:
shape = (1, num_features, 1, 1)
# 参与求梯度和迭代的拉伸和偏移参数，分别初始化成1和0
self.gamma = nn.Parameter(torch.ones(shape))
self.beta = nn.Parameter(torch.zeros(shape))
# 非模型参数的变量初始化为0和1
self.moving_mean = torch.zeros(shape)
self.moving_var = torch.ones(shape)
def forward(self, X):
# 如果X不在内存上，将moving_mean和moving_var
# 复制到X所在显存上
if self.moving_mean.device != X.device:
self.moving_mean = self.moving_mean.to(X.device)
self.moving_var = self.moving_var.to(X.device)
# 保存更新过的moving_mean和moving_var
Y, self.moving_mean, self.moving_var = batch_norm(
X, self.gamma, self.beta, self.moving_mean,
self.moving_var, eps=1e-5, momentum=0.9)
return Y